♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，２次不等式（文字係数）のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【目次】 • ２次不等式(D>0) • ２次不等式(D=0) • ２次不等式(D<0) • ２次不等式（解き方まとめ） • ２次不等式（絶対値付き） • ２次不等式（文字係数） == ２次不等式 ==　（文字係数） 〇文字係数の２次不等式を解くときは，できるだけ「因数分解」を試みて，文字の値の大小によって場合分けして答えます． 【例１】 ２次不等式を解いてください． 左辺を因数分解すると (x−2)(x−a) になるから，簡単に言えば 2とaの間 が答えになりますが，ここでaが文字であることにより，aと2のどちらが大きいかに応じて答え方が変わってきます． 右上に続く↑

（解答） ア）　a<2のとき ２次関数y=(x−2)(x−a)のグラフは右図のようになるから 2次不等式の解は a<x<2 イ）　a=2のとき ２次関数y=(x−2)2のグラフは右図のようになるから 2次不等式は「解なし」 ウ）　2<aのとき ２次関数y=(x−2)(x−a)のグラフは右図のようになるから 2次不等式の解は 2<x<a

【問題１】 (1) ２次不等式x2−ax≧0を解いてください． 解答を見る （解答） x(x−a)≧0と変形でき， ２次方程式x(x−a)=0の解はx=0, a ア）　a<0のとき ２次関数y=x(x−a)のグラフは右図のようになるから 2次不等式の解は x≦a, 0≦x イ）　a=0のとき ２次関数y=x2のグラフは右図のようになるから 2次不等式の解は「すべての実数」 ウ）　0<aのとき ２次関数y=x(x−a)のグラフは右図のようになるから 2次不等式の解は x≦0, a≦x

(2) ２次不等式x2−(a+3)x+(a+2)≦0を解いてください． 解答を見る （解答） (x−1)(x−a−2)≦0と変形できる ２次方程式(x−1)(x−a−2)=0の解はx=1, a+2 a<−1 ←→ a+2<1 a=−1 ←→ a+2=1 a>−1 ←→ a+2>1 に注意すると，次のように場合分けできる ア）　a<−1のとき，a+2<1だから a+2≦x≦1 イ）　a=−1のとき，a+2=1だから x=1 ウ）　−1<aのとき，1<a+2だから 1≦x≦a+2

【例２】 ２次不等式を解いてください． 左辺を因数分解すると (x−a)(x−a−1) になります． さらにa<a+1がいえるので aとa+1の両側

（解答） (x−a)(x−a−1)>0と書ける． ２次方程式 (x−a)(x−a−1)=0 の解は x=a, a+1　（a<a+1） だから 2次不等式の解は x<a, a+1<x…（答）

【問題２】 (1) ２次不等式x2−3ax+2a2<0を解いてください． 解答を見る （解答） (x−a)(x−2a)<0と変形できる ２次方程式(x−a)(x−2a)=0の解はx=a, 2a ア）　a<0のとき，2a<aだから ２次関数y=(x−a)(x−2a)のグラフは右図のようになる 2次不等式の解は 2a<x<a イ）　a=0のとき，a=2a=0だから ２次関数y=(x−a)(x−2a)のグラフは右図のようになる 2次不等式は「解なし」 ウ）　0<aのとき，a<2aだから ２次関数y=(x−a)(x−2a)のグラフは右図のようになる 2次不等式の解は a<x<2a

(2) ２次不等式x2+(2a−1)x+a(a−1)>0を解いてください． 解答を見る （解答） (x+a)(x+a−1)>0と変形できる ２次方程式 (x+a)(x+a−1)=0 の解は x=−a, −a+1　（−a<−a+1） だから 2次不等式の解は x<−a, −a+1<x…（答）

【例３】 ２次不等式を解いてください． （解答） (x−2a)(x−a−1)<0と書ける． ２次方程式 (x−2a)(x−a−1)=0 の解は x=2a, a+1 ここで ア）2a<a+1 ←→ a<1 イ）2a=a+1 ←→ a=1 ウ）2a>a+1 ←→ a>1 ア）a<1のとき，2a<a+1だから 2a<x<a+1 イ）a=1のとき，2a=a+1だから 解なし ウ）a>1のとき，a+1<2aだから a+1<x<2a

【問題３】 (1) ２次不等式x2+x−a(a+1)<0を解いてください． 解答を見る （解答） (x−a)(x+a+1)<0と変形できる ２次方程式(x−a)(x+a+1)=0の解はx=−a−1, a ア）　のとき，a<−a−1だから 2次不等式の解は a<x<−a−1 イ）　のとき，a=−a−1だから 2次不等式は「解なし」 ウ）　のとき，−a−1<aだから 2次不等式の解は −a−1<x<a

(2) 不等式ax2−(a2+1)x+a<0を解いてください． 解答を見る （解答） (ax−1)(x−a)<0と変形できる 右のグラフから分かるように， ア） a<−1 のとき 上に凸のグラフだから イ） a=−1 のとき 同様にして ウ） −1<a<0 のとき 同様にして エ） a=0 のときは定義されないから，元の式に戻って検討する 0x2−(02+1)x+0<0 より−x<0 したがってx>0 オ） 0<a<1 のとき 下に凸のグラフだから， カ） a=1 のとき したがって，解なし キ） 1<a のときだから

(3) 不等式(a−1)x2+(3−a)x−2<0を解いてください． 解答を見る （解答） {(a−1)x+2}(x−1)<0と変形できる 今後の見通しを立ててみると a≠1のとき，２次方程式 {(a−1)x+2}(x−1)=0の解は だから，との大小を調べておく必要がある 右のグラフから分かるように， ア） a<−1 のとき 上に凸だから， イ） a=−1 のとき 同様にして， ウ） −1<a<1 のとき 上に凸だから， エ） a=1 のときは定義されないから，元の式に戻って検討する 0x2+2x−2<0よりx<1 オ） 1<a のとき 下に凸だから，

【例４】 ２次不等式の解がすべての実数となるように，定数aの値の範囲を定めてください． （考え方） ２次関数x2−(a+1)x+(7−a)のグラフが，右図のように (1)　下に凸のグラフでなければならない → x2の係数が正（1）だからこれは成り立っている． ※なぜ「下に凸」でなければならないか？ もし，上に凸だったら，次のグラフのように両サイドで必ず負となってしまいつねに正になることはできないから，下に凸のグラフでなければならない (2)　x軸と共有点をもたないこと → 判別式D<0で調べるのが早いが，判別式はまだ習っていないという場合は，放物線の頂点のy座標が正であると言っても同じ． ※よくある話：y座標が「つねに正」となる条件は「判別式D>0」ではないのか？という間違いが多い 判別式Dの符号はx軸との共有点の「個数」に対応しているのに対して，ここで調べているのは頂点のy座標． 実は， という平方完成の変形から言えば，頂点のy座標は すなわち だから，グラフが下に凸（a>0）のとき，頂点のy座標が正になるという条件は になります． 右上に続く↑

（解答） ２次関数の頂点を求める計算で行くと （かなり長い計算の結果） となって，頂点のy座標が正になるという条件は すなわち a2+6a−27<0 となりますが，かなり冗長な答案になります． ２次方程式 x2−(a+1)x+(7−a)=0 の判別式の符号が負になればよい． D=(a+1)2−4(7−a) =a2+2a+1−28+4a =a2+6a−27 =(a+9)(a−3)<0 より −9<a<3…（答） 【問題４】 (1) ２次不等式x2−kx+k(k−1)≧0がすべての実数xについて成り立つように定数kの値の範囲を定めてください． 解答を見る D=0でもよい D<0でもよい 　例題との違いで言うと，この問題では. . . ≧0という形で「等号付き不等号」になっている点をどう処理するかが焦点になります． 　右図のようにD=0でもよいD<0でもよいのだから， まとめてD≦0と書けます． （解答） ２次方程式 x2−kx+k(k−1)=0 の判別式を調べる． D=k2−4k(k−1) =−3k2+4k≦0 3k2−4k≧0 k(3k−4)≧0 より …（答）

(2) 不等式ax2−2(a+1)x+(a+3)>0がすべての実数xについて成り立つように定数aの値の範囲を定めてください． 解答を見る （注）　a=0のときは，xの２次不等式にならず判別式も定義されませんが，その場合だけ１次不等式として処理します．そのために問題文を「２次不等式･･･」とせず，「不等式･･･」としてあります． （解答） ア）　a≠0のとき (1)　a>0 (2)　D'=(a+1)2−a(a+3)<0 (2)よりa2+2a+1−a2−3a<0 −a+1<0 a>1 (1)(2)を満たすのはa>1 イ）　a=0のとき 元の不等式は，次の１次不等式になる −2x+3>0 この形の不等式は十分大きなxの値（例えばx=2）に対して成り立たないから，すべての実数xについて成り立つようにはできない． ア）イ）よりa>1…（答）

(3) 不等式(k−1)x2−kx+2k≧0がすべての実数xについて成り立つように定数kの値の範囲を定めてください． 解答を見る （注）　k=1のときは，１次不等式として処理します． （解答） ア）　k≠1のとき (1)　k>1 (2)　D=k2−8k(k−1)≦0 (2)よりk2−8k2+8k≦0 7k2−8k≧0 k(7k−8)≧0 (1)(2)を満たすのは イ）　k=1のとき 元の不等式は，次の１次不等式になる −x+2≧0 この形の不等式は十分大きなxの値（例えばx=3）に対して成り立たないから，すべての実数xについて成り立つようにはできない． ア）イ）より…（答）